Doblar un papel 45 veces

Domingo, comida familiar. Quiero reírme un rato, así que reto a alguien a ver si puede doblar sobre sí mismo un papel 15 veces. La mayoría acepta. Normalmente empiezan con un papel pequeño, lo doblan 7 u 8 veces y paran. Muchos en este momento decidirán ir a por un papel más grande para no perder su orgullo. Después de intentarlo, volverán a fracasar, no saben que necesitan un papel exponencialmente más grande para poder hacer más pliegues.

Cuando ya han decidido darlo por imposible les explico qué pasa, y es que la función que nos indica el grosor de la hoja después de doblarla n veces es 2^n. Esto significa que por cada pliegue que hagamos, multiplicaremos el grosor por 2. El crecimiento al principio no se llega a notar, lo que hace pensar que, al hacer 4 o 5 pliegues fácilmente, el resto van a ser iguales. Pero esto es falso, ya que a cada pliegue extra multiplicará por 2 la dificultad (imaginad una montaña que empieza siendo casi plana y acaba siendo vertical).

En la vida real, por favor

Imaginad que tenemos un papel de periódico con un grosor de 0.001 centímetros (un papel MUY fino). Entonces, si n es el número de pliegues, la función que define el grosor es 0.001 \cdot 2^n centímetros. Hasta los 5 pliegues la dificultad es mínima, sólo tenemos que aplicar la fórmula con n=4, lo que nos da un grosor de 0.032 centímetros. Llegar a los 10 pliegues ya es más difícil con papeles pequeños, porque habríamos alcanzado algo más de 1 centímetro. Aún así, los 10 pliegues parecen asumibles, pero 15 pliegues hacen dispararse la cifra hasta los 32 centímetros.

En este gráfico vemos el comportamiento de la función exponecial En este gráfico comparamos como varía el grosor comparando 10 a 15 pliegues

En las imagenes vemos bien cómo sería el grosor del papel. En la primera tenemos el grosor hasta 10 pliegues, y en la otra hasta 15 pliegues. En esta última se ve que los 10 pliegues son ridículos ahora comparado con los 15. Con 20 los 15 serán ridículos, y así hasta el infinito.

Hasta el espacio, y más allá…

Aún sabiendo esto, el cerebro no es muy bueno imaginando estas cifras y se pierde llegado a cierto punto. He probado a preguntar a la gente que retaba cuánto creían que sería el grosor haciendo 45 pliegues, la mayoría dijo cientos de metros o algún que otro kilómetro. Ninguno se llegó siquiera a acercar. Vamos a substituir la fórmula otra vez con n=45. Para más comodidad cambiamos la fórmula a kilómetros, que quedaría como 10^{-8} \cdot 2^n. Substituímos y, ¡TACHÁN!, aparecen unos 351 mil kilómetros. ¡Más o menos la distancia que hay hasta la Luna! Si aún no habéis entendido el crecimiento exponencial, significa que haciendo otro pliegue conseguiríamos ir a la Luna y, además, volver de nuevo.

En el siguiente vídeo se explica esto de forma más gráfica, eso sí, en inglés.

Ahora vamos un poco más lejos. Para ir hasta Urano (que está a unos 2872 millones de kilómetros) sólo tendriamos que hacer 58 pliegues. Vamos más lejos. Próxima Centauri (la estrella más próxima al Sol) está a unos 4.2 años luz (unas 14000 veces más que Urano). Ahora necesitamos unos 72 pliegues, sólo 14 más que para llegar al planeta azul. Así podemos seguir, y en no mucho tiempo llegaríamos al final de universo conocido.

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Planet Earth

Para el que no lo sepa, ‘Planet Earth‘ (Planeta Tierra) es una serie documental de la BBC sobre naturaleza. Hoy os traigo una recopilación espectacular de este documental que, junto a la música orquestral de fondo, hará emocionarse hasta al más cosmopolita. Obligatorio (o al menos muy recomendable) ver el vídeo a 1080p.

En el víde se ven muchísimos sitios que dejan con la boca abierta. He intentado identificar algunos de los que aparecen, esto es lo que me ha salido:

  • 2:36. Las Dolomitas, Italia.
  • 2:48. Glaciar Baltoro, Pakistán.
  • 2:56. Torre sin Nombre, Pakistán.
  • 3:50. Nanga Parbat, Pakistán.
  • 5:00. Parque Nacional de los Secuoyas, Estados Unidos.
  • 7:16. Sótano de las Golondrinas, México.
  • 7:48. Salto del Ángel, Venezuela.
Seguro que me he equivocado en alguno. ¿Habéis reconocido más?

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Peso en otras partes del Sistema Solar

Normalmente una persona se imagina el peso como una cantidad de materia o masa, pero no es más que una fuerza que genera, en nuestro caso, el centro de la Tierra. Aunque todos los cuerpos con masa generan gravedad unos con otros, supongamos que sólo existe esta fuerza desde nosotros al centro de la Tierra. La cifra mágica para el caso de la Tierra es 9.78 m/s^2, aunque no es uniforme para toda la superficie.

Sólo unos pocos privilegiados se han podido permitir sentir una gravedad muy diferente y saber qué se siente. El resto de los mortales sólo podemos imaginarnos el peso que tendríamos con una gravedad diferente a la que disfrutamos (o sufrimos) en la Tierra. Dentro del Sistema Solar, la superficie donde encontramos más gravedad es en la del Sol. Si consiguiéramos “posarnos” sin morir antes, estaríamos sufriendo (esta vez sí) una gravedad de 274 m/s^2, unas 28 veces nuestro peso en la Tierra. Digno del entrenamiento de Goku en su viaje a Namek. También podríamos viajar a Plutón. En ese caso la fuerza es de sólo 0.6 m/s^2, unas 0.06 veces la de la Tierra.

Armstrong y Aldrin sintieron 1.62 m/s^2 al pisar por primera vez la superficie de la Luna. Esto significa que pesaban unas 6 veces menos que en la Tierra. Estos 12 hombres que han llegado a la Luna hasta hoy son los únicos que han sentido algo así. Muchos podrían decir que en la estación espacial o en los transbordadores hay “gravedad cero”, pero no es verdad. Realmente, sólo hay una sensación de ingravidez a causa de la caída libre.

La ingravidez es la experiencia (de personas y objetos) durante la caída libre. Ésta se experimenta comúnmente en las naves espaciales. La ingravidez representa la sensación de de experimentar una fuerza g cero, o peso aparente cero.

En otros sitios…

Os he preparado un pequeño programa para que veáis el peso que tendríais en otras partes del Sistema Solar.
Tu peso en la Tierra (kg)
Planeta Peso
Sol0.00 kg
Mercurio0.00 kg
Venus0.00 kg
Luna0.00 kg
Marte0.00 kg
Deimos0.00 kg
Ceres0.00 kg
Júpiter0.00 kg
Saturno0.00 kg
Urano0.00 kg
Neptuno0.00 kg
Plutón0.00 kg

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Nuevo tema

Bueno, la verdad es que hace demasiado tiempo que no publico nada, la universidad me quita demasiado tiempo de mi vida. Pero hoy he decidido cambiar de tema al Blog (otra vez) por uno mucho más minimalista. Sólo el texto que venís a leer y poco más. Tengo que adaptarlo algo más a mis gustos (colores, fuente…) y traducir muchos apartados que están en inglés, pero no pasará como en el otro (tampoco hay mucho para cambiar), que empezó por defecto y acabó siendo algo totalmente diferente.

Por si os interesa, el tema es Chunk, creado por Automattic. Es todo por hoy, espero poner más cosas en los próximos días.

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Au-Delà des Cimes

Opinión

Hoy os voy a hablar sobre una película de montaña que he visto hace poco. La película se llama, como dice el título, Au-Delà des Cimes. No se trata de una película exactamente, sino que es un documental de montaña con unos medios espectaculares. El hilo de la película trata sobre la montañera francesa Catherine Destivelle, que nos mostrará la ascensión a tres montañas del macizo del Mont Blanc. En cada ascensión, Catherine va acompañada por algún conocido que ha marcado una parte de su vida.

He notado varios aspectos en Au-Delà des Cimes que lo distinguen de otros documentales o películas de montaña. Además de la calidad de imagen y los planos espectaculares que ofrecen las cámaras en los helicópteros, lo más importante son las conversaciones entre Catherine y sus acompañantes. En estas conversaciones se habla de la pasión por la montaña y la vida. Este punto, y lo vuelvo a decir, me ha parecido decisivo para considerar este documental como básicamente genial. Hay otros documentales buenos, pero sólo muestran roca y pendiente, no una filosofía. En definitiva, te hace sentir como si tú estuvieras ahí, colgado de una pared de granito a más de 3000 metros sobre el nivel del mar, tú contra la pared. En definitiva, un espectáculo visual y personal.

Mi valoración: \star\star\star\star\star

Ascensiones

La primera pared que desafía a Catherine es el Gran Capuchino. Emprende esta subida con una de sus alumnas, Pauline.

Catherine y Pauline en el Gran Capuchino

La segunda pared es la escarpadísima Aiguille du Grépon, a la que sube con su hermana pequeña Claire.

Aiguille du Grépon
Por último, asciende a una de las montañas más míticas de los Alpes, la Aiguille Verte, montaña que casi le cuesta la vida a Catherine cuando era joven. Esta última ascensión la lleva a cabo con sus dos grandes amigos Lothar y Gaby.

Llegando a la cresta de la Aiguille Verte

No os cuento más para que la veáis vosotros. Las fotos de este post provienen de este artículo de Klaketa. La película, por desgracia, no se puede encontrar en España, pero en ese artículo la podéis encontrar en francés subtitulado al español, muy recomendable.

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