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may 13 2012
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Curiosidades, Matemáticas y números

Doblar un papel 45 veces

Domingo, comida familiar. Quiero reírme un rato, así que reto a alguien a ver si puede doblar sobre sí mismo un papel 15 veces. La mayoría acepta. Normalmente empiezan con un papel pequeño, lo doblan 7 u 8 veces y paran. Muchos en este momento decidirán ir a por un papel más grande para no perder su orgullo. Después de intentarlo, volverán a fracasar, no saben que necesitan un papel exponencialmente más grande para poder hacer más pliegues.

Cuando ya han decidido darlo por imposible les explico qué pasa, y es que la función que nos indica el grosor de la hoja después de doblarla n veces es 2^n. Esto significa que por cada pliegue que hagamos, multiplicaremos el grosor por 2. El crecimiento al principio no se llega a notar, lo que hace pensar que, al hacer 4 o 5 pliegues fácilmente, el resto van a ser iguales. Pero esto es falso, ya que a cada pliegue extra multiplicará por 2 la dificultad (imaginad una montaña que empieza siendo casi plana y acaba siendo vertical).

En la vida real, por favor

Imaginad que tenemos un papel de periódico con un grosor de 0.001 centímetros (un papel MUY fino). Entonces, si n es el número de pliegues, la función que define el grosor es 0.001 \cdot 2^n centímetros. Hasta los 5 pliegues la dificultad es mínima, sólo tenemos que aplicar la fórmula con n=4, lo que nos da un grosor de 0.032 centímetros. Llegar a los 10 pliegues ya es más difícil con papeles pequeños, porque habríamos alcanzado algo más de 1 centímetro. Aún así, los 10 pliegues parecen asumibles, pero 15 pliegues hacen dispararse la cifra hasta los 32 centímetros.

En este gráfico vemos el comportamiento de la función exponecial En este gráfico comparamos como varía el grosor comparando 10 a 15 pliegues

En las imagenes vemos bien cómo sería el grosor del papel. En la primera tenemos el grosor hasta 10 pliegues, y en la otra hasta 15 pliegues. En esta última se ve que los 10 pliegues son ridículos ahora comparado con los 15. Con 20 los 15 serán ridículos, y así hasta el infinito.

Hasta el espacio, y más allá…

Aún sabiendo esto, el cerebro no es muy bueno imaginando estas cifras y se pierde llegado a cierto punto. He probado a preguntar a la gente que retaba cuánto creían que sería el grosor haciendo 45 pliegues, la mayoría dijo cientos de metros o algún que otro kilómetro. Ninguno se llegó siquiera a acercar. Vamos a substituir la fórmula otra vez con n=45. Para más comodidad cambiamos la fórmula a kilómetros, que quedaría como 10^{-8} \cdot 2^n. Substituímos y, ¡TACHÁN!, aparecen unos 351 mil kilómetros. ¡Más o menos la distancia que hay hasta la Luna! Si aún no habéis entendido el crecimiento exponencial, significa que haciendo otro pliegue conseguiríamos ir a la Luna y, además, volver de nuevo.

En el siguiente vídeo se explica esto de forma más gráfica, eso sí, en inglés.

Ahora vamos un poco más lejos. Para ir hasta Urano (que está a unos 2872 millones de kilómetros) sólo tendriamos que hacer 58 pliegues. Vamos más lejos. Próxima Centauri (la estrella más próxima al Sol) está a unos 4.2 años luz (unas 14000 veces más que Urano). Ahora necesitamos unos 72 pliegues, sólo 14 más que para llegar al planeta azul. Así podemos seguir, y en no mucho tiempo llegaríamos al final de universo conocido.

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mar 14 2011
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Curiosidades

Las predicciones de hace 100 años. Parte 3

Nueva parte del post más inacabable del Blog, no por su cantidad sino por su, digamos, poca actividad. La primera parte la publiqué a finales del año 2008, la segunda a principios del año pasado.

Para el que no se acuerde, o simplemente no las haya leído, se trata de unas cuantas predicciones que realizó John Elfreth en diciembre de 1900 para los próximos 100 años. Ya nos vamos alejando de esos años, pero sigue siendo curioso ver como se pensaba que sería el mundo hoy en día. ¿Alguien se atreve con una predicción para 2100?

Predicción 11
'Sin mosquitos ni moscas. Las mosquiteras serán innecesarias. Los mosquitos, las moscas y las cucarachas habrán sido practicamente exterminadas. Se destruirán todos sus refugios y zonas de cria, se drenarán todas las aguas estancadas y todas las corrientes de agua serán tratadas quimicamente. La exterminación del caballo (como medio de transporte) y su establo reducirán la cantidad de moscas '

Predicción 12
'Guisantes igual de largas que remolachas. Los guisantes y las habas serán igual de largas que las habas de hoy en día. Las cañas de azúcar producirán el doble, como el azucar de remolacha actual. La caña de azúcar se convertirá en nuestra fuente principal. Las plantas serán igual de resistentes a los microbios como lo es el hombre a la viruela hoy en día. El terreno será enrriquezido por las propias plantas, que recogerán los nutrientes del aire para luego fertilizar la tierra'

Predicción 13
'Nuestros tatara-tatara-nietos podrán comer fresas en las comidas de Navidad igual de grandes que las manzanas en cien años. Las frambuesas y las moras serán igual de grandes. Las fresas y los arandanos se cultivarán en arbustos altos. Arándanos y grosellas tendrán el mismo tamaño que las naranjas. Un melón satisfará a toda una familia. Melones, cerezas, uvas, … no tendrán semillas. Los higos se cultivarán en todo Estados Unidos.'

Predicción 14
'Rosas negras, azules y verdes. Las rosas serán tan grandes como coles. Las violetas crecerán hasta tener el tamaño de orquídeas. Los pensamientos (planta) tendrán el tamaño de girasoles. Será posible plantar cualquier flor de cualquier color y transferir el olor de una a otra, por ejemplo, los pensamientos podrán tener el olor de las violetas.'

Predicción 15
'No habrá alimentos expuestos. Los comerciantes que expongan sus alimentos al aire libre serán detenidos, junto a los que vendan productos adulterados o en mal estado. Refrigeradores de aire líquido conservarán frescos los alimentos durante mucho tiempo.'

Predicción 16
'No habrá C, X o Q en el alfabeto. Serán abandonadas por ser innecesarias. La ortografía se adaptará al sonido, primero en los periódicos. El inglés será un idioma con palabras densas que expresan ideas complejas, siendo el más hablado del planeta. El ruso será el segundo.'

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ene 29 2011
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Curiosidades

Unidades simbólicas

Cuando era pequeño solía sorprenderme la cantidad de cifras redondas que podía encontrar en las medidas de muchas cosas que oía, – el agua hierve a 100 grados y se congela a 0, demasiada casualidad – pensaba. Más tarde descubrí que las unidades no eran algo natural, como yo pensaba, sino algo simbólico.

Grado Celsius

Sí, el agua hierve a 100 grados y se congela a 0, pero grados Celsius. Normalmente se acorta y todos se entienden, pero hay que tener cuidado al viajar a países como Estados Unidos, ya que utilizan los grados Fahrenheit. Imaginad la situación… Estáis con un amigo una mañana de octubre en Nueva York… -¿A cuántos grados estamos hoy? - Ahora estamos a 10 grados. - !¿Qué?! Vuestro amigo se escandaliza porque para él los 10 grados son Fahrenheit, unos -12ºC. La única diferencia entre ambos, pero, es que toman diferentes puntos de referencia. El grado Celsius toma el 0 en el punto de congelación del agua y el 100 en el punto de ebullición, ambos a una atmósfera de presión (digamos que a nivel de mar). El grado Fahrenheit, por otro lado, es algo más complicado. Os pongo la cita de Wikipedia del artículo “Grado Fahrenheit” que lo explica a la perfección.
Colocando el termómetro en una mezcla de sal de amonio o agua salada,hielo y agua, encontré un punto sobre la escala al cual llamé cero. Un segundo punto lo obtuve de la misma manera, si la mezcla se usa sin sal. Entonces denoté este punto como 30. Un tercer punto, designado como 96, fue obtenido colocando el termómetro en la boca para adquirir el calor del cuerpo humano.

El metro

Otra medida que me traía de cabeza cuando era pequeño era la frase “la Tierra tiene una circunferencia de 40000 kilómetros, exactamente”. La circunferencia que une ambos polos mide 40007 km mientras que la del ecuador 40075 km. Como veis, la medida de los 40000 km sólo se cumple, más o menos, con la circunferencia de los meridianos ya que la Tierra es una esfera achatada por los polos a causa de la rotación.

Meridiano de Barcelona a Dunkerque, extraída de "El metro y las medidas"

La “casualidad” de que sea un número tan redondo está, otra vez, en los puntos de referencia que cogieron sus creadores. En 1795, lo definieron como la diezmillonésima parte del cuarto de meridiano entre el castillo de Montjuïc (Barcelona) y Dunkerque. Hablando en otras palabras, un kilómetro es 1/40000 de la distancia de dicho meridiano.

El kilogramo

Otra más. – Un litro pesa exactamente un kilo – pensaba. Primero pensé que el litro era una unidad de masa, pero no, el litro es una unidad de volumen y equivale a un decímetro cúbico. Luego vi que esto sólo sucedía con el agua y descubrí la densidad. Esto sucede porque el kilogramo, en sus inicios, tomó como referencia el agua (otra vez). Se definió que un kilogramo equivalía a un decímetro cúbico de agua y, como en el caso del grado Celsius, a una atmósfera de presión. Imaginad que llenamos una botella de agua de dos litros (2 dm3) con hierro. Esta pasaría de pesar 2 Kg con agua a pesar casi 16 Kg. El hierro tiene una densidad de 7.87 kg/L. Si la llenamos con osmio (el elemento químico más denso, 22.6 kg/L) pasaría a pesar 45 Kg. Casi nada… ¿Conocéis alguna otra?

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ene 20 2010
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Curiosidades

Las predicciones de hace 100 años. Parte 2

Revivo este post, del cual escribí la primera parte hace más de un año. Si no os acordáis que es, se trata de unas predicciones de John Elfredh de hace 100 años de lo que pensaba que sería el mundo en el siglo XXI. Es una traducción libre.

Las predicciones de hace 100 años. Parte 1.

Predicción 5
‘Los trenes viajarán a 2 millas por minuto (193 Km/h) y los trenes de alta velocidad a 150 millas a la hora (241 Km/h), y con ellos se podrá ir de Nueva York a San Francisco en un día y una noche. Habrá locomotoras con forma de cigarro que transportaran largas colas de vagones, y estos,  al igual que las casas actuales, serán enfriados artificialmente. No habrá humo ni cenizas, ya que no se quemará carbón. No habrá paradas para agua, y los pasajeros viajarán por sitios calurosos o polvorientos con las ventanas bajadas.’

Predicción 6
‘Los automóbiles serán más baratos que los caballos en la actualidad. Los agricultores poseerán automóbiles aptos para el trabajo. Un motor de una libra de peso de estos vehículos tendrá la fuerza de un par de caballos o más. Los niños montarán en trineos motorizados durante el invierno. Los automóbiles substituirán cada carro de caballos de la actualidad. Existirán, como ya existe ahora, automóbiles fúnebres, automóbiles de policía, automóbiles ambulancia y automóbiles de limpieza.’

Predicción 7
‘Existirán aviones, pero no lograrán competir con los coches y el transporte marítimo en el transporte de pasajeros y mercancia. Se utilizarán para la guerra. Algunos transportarán hombres y mercancias. Otros, serán utilizados por los científicos para hacer observaciones y experimentos a grandes alturas por encima de la superficie terrestre.’

Predicción 8
‘Se producirán guerras con aviones y fortalezas con ruedas (tanques). Armas gigantes podrán disparar hasta 25 millas (40 Km) de distancia o más, causarán daño en un radio circundante a la explosión, pudiendo destruir grandes ciudades. Esas armas estarán construidas con brújulas cuando fueran usadas en tierra o en mar, y con telescopios cuando se dirijan desde grandes alturas.

Los rifles utilizarán silenciadores. Habrá submarinos que podrán sumergirse durante días y destruir flotas enteras. Los globos y aviones llevarán telescopios con cámara, para poder fotografiar a enemigos a una distancia de unas 100 millas, y serán enviadas a la base.’

Predicción 9
‘Las fotografías podrán se enviarán por telegrama a cualquier distancia. Si hay una batalla en China, se publicará en los periódicos una hora después. Hasta las fotografías diarias serán enviadas por telegrama de corta distancia. Las fotografías reproducirán todos los colores de la naturaleza.’

Predicción 10
‘Las personas podrán ver cualquier parte del mundo. Personas y paisajes de todo el mundo serán grabados con cámaras conectadas eléctricamente con pantallas conectadas al otro lado del circuito, a miles de millas de distancia. Los americanos podrán ver en sus teatros la coronación de reyes en Europa o el progreso de grandes batallas en Oriente. El instrumento que graba todas estas escenas estará conectado a una máquina telefónica gigante que se encargará de transmitir cada sonido del lugar, como las balas de los cañones o la voz de un cantante o actor.’

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nov 28 2009
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Curiosidades

El uso de las letras

Después de leer un artículo de 86400.es en el que hablan sobre el porcentaje de uso de todas las letras en nuestro idioma, me entraron ganas de comprobarlo. Para ello, hice un pequeño programa en C++ que nos dice el porcentaje de  uso de cada letra utilizada en un texto que pongamos (exceptuando la ñ y letras con tilde).

Los resultados que os pongo aquí, salen de un texto de unas 200 páginas y 219.731 letras. Se parecen bastante a los resultados del post, pero destaca la k con un 0,2% en este texto, seguramente por la presencia de palabras extranjeras. Si queréis analizar más textos, los podéis dejar en los comentarios, y os pongo los resultados, también os pongo el código fuente del programa.

  • a: 13.3031%
  • b: 1.8181%
  • c: 3.9257%
  • d: 4.8314%
  • e: 13.6308%
  • f: 0.5716%
  • g: 1.0854%
  • h: 1.1915%
  • i: 5.4417%
  • j: 0.5175%
  • k: 0.2016%
  • l: 5.1281%
  • m: 3.6608%
  • n: 6.7560%
  • o: 8.7248%
  • p: 2.7738%
  • q: 1.4668%
  • r: 6.8716%
  • s: 6.8279%
  • t: 4.1769%
  • u: 4.4336%
  • v: 1.1746%
  • w: 0.0086%
  • x: 0.1543%
  • y: 0.8624%
  • z: 0.4615%

El código en C++.

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
using namespace std;
 
typedef vector<double> Abecedario;
 
int main() {
    // 4 cifras de precisión
    cout.setf(ios::fixed);
    cout.precision(4);
 
    Abecedario a(26, 0);
    char c;
    while(cin >> c) {
        if(c >= 'a' and c <= 'z') ++a[c-'a'];
        else if(c >= 'A' and c <= 'Z') ++a[c-'A'];
    }
 
    string s = "abcdefghijklmnopqrstuvwxyz";
    double suma = 0;
    for(int i = 0; i < 26; ++i) suma+= a[i];
    cout << int(suma) << " letras" << endl;
    for(int i = 0; i < 26; ++i) {
        double k = a[i]/suma*100;
        if(a[i] != 0) cout << s[i] << ": " << k << "%" << endl;
    }
}

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