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may 13 2012
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Curiosidades, Matemáticas y números

Doblar un papel 45 veces

Domingo, comida familiar. Quiero reírme un rato, así que reto a alguien a ver si puede doblar sobre sí mismo un papel 15 veces. La mayoría acepta. Normalmente empiezan con un papel pequeño, lo doblan 7 u 8 veces y paran. Muchos en este momento decidirán ir a por un papel más grande para no perder su orgullo. Después de intentarlo, volverán a fracasar, no saben que necesitan un papel exponencialmente más grande para poder hacer más pliegues.

Cuando ya han decidido darlo por imposible les explico qué pasa, y es que la función que nos indica el grosor de la hoja después de doblarla n veces es 2^n. Esto significa que por cada pliegue que hagamos, multiplicaremos el grosor por 2. El crecimiento al principio no se llega a notar, lo que hace pensar que, al hacer 4 o 5 pliegues fácilmente, el resto van a ser iguales. Pero esto es falso, ya que a cada pliegue extra multiplicará por 2 la dificultad (imaginad una montaña que empieza siendo casi plana y acaba siendo vertical).

En la vida real, por favor

Imaginad que tenemos un papel de periódico con un grosor de 0.001 centímetros (un papel MUY fino). Entonces, si n es el número de pliegues, la función que define el grosor es 0.001 \cdot 2^n centímetros. Hasta los 5 pliegues la dificultad es mínima, sólo tenemos que aplicar la fórmula con n=4, lo que nos da un grosor de 0.032 centímetros. Llegar a los 10 pliegues ya es más difícil con papeles pequeños, porque habríamos alcanzado algo más de 1 centímetro. Aún así, los 10 pliegues parecen asumibles, pero 15 pliegues hacen dispararse la cifra hasta los 32 centímetros.

En este gráfico vemos el comportamiento de la función exponecial En este gráfico comparamos como varía el grosor comparando 10 a 15 pliegues

En las imagenes vemos bien cómo sería el grosor del papel. En la primera tenemos el grosor hasta 10 pliegues, y en la otra hasta 15 pliegues. En esta última se ve que los 10 pliegues son ridículos ahora comparado con los 15. Con 20 los 15 serán ridículos, y así hasta el infinito.

Hasta el espacio, y más allá…

Aún sabiendo esto, el cerebro no es muy bueno imaginando estas cifras y se pierde llegado a cierto punto. He probado a preguntar a la gente que retaba cuánto creían que sería el grosor haciendo 45 pliegues, la mayoría dijo cientos de metros o algún que otro kilómetro. Ninguno se llegó siquiera a acercar. Vamos a substituir la fórmula otra vez con n=45. Para más comodidad cambiamos la fórmula a kilómetros, que quedaría como 10^{-8} \cdot 2^n. Substituímos y, ¡TACHÁN!, aparecen unos 351 mil kilómetros. ¡Más o menos la distancia que hay hasta la Luna! Si aún no habéis entendido el crecimiento exponencial, significa que haciendo otro pliegue conseguiríamos ir a la Luna y, además, volver de nuevo.

En el siguiente vídeo se explica esto de forma más gráfica, eso sí, en inglés.

Ahora vamos un poco más lejos. Para ir hasta Urano (que está a unos 2872 millones de kilómetros) sólo tendriamos que hacer 58 pliegues. Vamos más lejos. Próxima Centauri (la estrella más próxima al Sol) está a unos 4.2 años luz (unas 14000 veces más que Urano). Ahora necesitamos unos 72 pliegues, sólo 14 más que para llegar al planeta azul. Así podemos seguir, y en no mucho tiempo llegaríamos al final de universo conocido.

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jun 15 2011
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Astronomía

Las montañas de la Luna

Aunque desde aquí abajo parezca que la Luna es una pelotita redonda con algún que otro cráter, su superficie es muy irregular y tiene diferencias de altura muy grandes. Como es lógico, no conocemos tan bien su superficie comparado con la Tierra, pero la sonda LRO identificó hace unos meses el punto más elevado de la Luna. Este punto está a, nada más y nada menos, 10786 metros por encima del radio medio de la Luna. Esto es, 1938 metros más alto que el Everest (8848 metros por encima del mar).

El punto más alto de la Luna

Ahí está. Visto desde arriba sigue pareciendo una gran llanura “a nivel del mar”. Los que tengáis telescopio, no os esforcéis en buscarlo, ya que se encuentrafuera del 59% de la Luna que podemos ver desde la Tierra, en la cara oculta.

De regalo: Un vídeo donde se ve la Luna desde la Tierra en un time lapse de un año entero. Podéis ver como hace algunos pequeños giros (libraciones) pero no llega a girar del todo, por eso sólo vemos ese 59%. También vemos como algunas veces aumenta de tamaño, por acercarse más a la Tierra.

Vía y más información en Eureka

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mar 14 2011
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Curiosidades

Las predicciones de hace 100 años. Parte 3

Nueva parte del post más inacabable del Blog, no por su cantidad sino por su, digamos, poca actividad. La primera parte la publiqué a finales del año 2008, la segunda a principios del año pasado.

Para el que no se acuerde, o simplemente no las haya leído, se trata de unas cuantas predicciones que realizó John Elfreth en diciembre de 1900 para los próximos 100 años. Ya nos vamos alejando de esos años, pero sigue siendo curioso ver como se pensaba que sería el mundo hoy en día. ¿Alguien se atreve con una predicción para 2100?

Predicción 11
'Sin mosquitos ni moscas. Las mosquiteras serán innecesarias. Los mosquitos, las moscas y las cucarachas habrán sido practicamente exterminadas. Se destruirán todos sus refugios y zonas de cria, se drenarán todas las aguas estancadas y todas las corrientes de agua serán tratadas quimicamente. La exterminación del caballo (como medio de transporte) y su establo reducirán la cantidad de moscas '

Predicción 12
'Guisantes igual de largas que remolachas. Los guisantes y las habas serán igual de largas que las habas de hoy en día. Las cañas de azúcar producirán el doble, como el azucar de remolacha actual. La caña de azúcar se convertirá en nuestra fuente principal. Las plantas serán igual de resistentes a los microbios como lo es el hombre a la viruela hoy en día. El terreno será enrriquezido por las propias plantas, que recogerán los nutrientes del aire para luego fertilizar la tierra'

Predicción 13
'Nuestros tatara-tatara-nietos podrán comer fresas en las comidas de Navidad igual de grandes que las manzanas en cien años. Las frambuesas y las moras serán igual de grandes. Las fresas y los arandanos se cultivarán en arbustos altos. Arándanos y grosellas tendrán el mismo tamaño que las naranjas. Un melón satisfará a toda una familia. Melones, cerezas, uvas, … no tendrán semillas. Los higos se cultivarán en todo Estados Unidos.'

Predicción 14
'Rosas negras, azules y verdes. Las rosas serán tan grandes como coles. Las violetas crecerán hasta tener el tamaño de orquídeas. Los pensamientos (planta) tendrán el tamaño de girasoles. Será posible plantar cualquier flor de cualquier color y transferir el olor de una a otra, por ejemplo, los pensamientos podrán tener el olor de las violetas.'

Predicción 15
'No habrá alimentos expuestos. Los comerciantes que expongan sus alimentos al aire libre serán detenidos, junto a los que vendan productos adulterados o en mal estado. Refrigeradores de aire líquido conservarán frescos los alimentos durante mucho tiempo.'

Predicción 16
'No habrá C, X o Q en el alfabeto. Serán abandonadas por ser innecesarias. La ortografía se adaptará al sonido, primero en los periódicos. El inglés será un idioma con palabras densas que expresan ideas complejas, siendo el más hablado del planeta. El ruso será el segundo.'

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ene 29 2011
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Curiosidades

Unidades simbólicas

Cuando era pequeño solía sorprenderme la cantidad de cifras redondas que podía encontrar en las medidas de muchas cosas que oía, – el agua hierve a 100 grados y se congela a 0, demasiada casualidad – pensaba. Más tarde descubrí que las unidades no eran algo natural, como yo pensaba, sino algo simbólico.

Grado Celsius

Sí, el agua hierve a 100 grados y se congela a 0, pero grados Celsius. Normalmente se acorta y todos se entienden, pero hay que tener cuidado al viajar a países como Estados Unidos, ya que utilizan los grados Fahrenheit. Imaginad la situación… Estáis con un amigo una mañana de octubre en Nueva York… -¿A cuántos grados estamos hoy? - Ahora estamos a 10 grados. - !¿Qué?! Vuestro amigo se escandaliza porque para él los 10 grados son Fahrenheit, unos -12ºC. La única diferencia entre ambos, pero, es que toman diferentes puntos de referencia. El grado Celsius toma el 0 en el punto de congelación del agua y el 100 en el punto de ebullición, ambos a una atmósfera de presión (digamos que a nivel de mar). El grado Fahrenheit, por otro lado, es algo más complicado. Os pongo la cita de Wikipedia del artículo “Grado Fahrenheit” que lo explica a la perfección.
Colocando el termómetro en una mezcla de sal de amonio o agua salada,hielo y agua, encontré un punto sobre la escala al cual llamé cero. Un segundo punto lo obtuve de la misma manera, si la mezcla se usa sin sal. Entonces denoté este punto como 30. Un tercer punto, designado como 96, fue obtenido colocando el termómetro en la boca para adquirir el calor del cuerpo humano.

El metro

Otra medida que me traía de cabeza cuando era pequeño era la frase “la Tierra tiene una circunferencia de 40000 kilómetros, exactamente”. La circunferencia que une ambos polos mide 40007 km mientras que la del ecuador 40075 km. Como veis, la medida de los 40000 km sólo se cumple, más o menos, con la circunferencia de los meridianos ya que la Tierra es una esfera achatada por los polos a causa de la rotación.

Meridiano de Barcelona a Dunkerque, extraída de "El metro y las medidas"

La “casualidad” de que sea un número tan redondo está, otra vez, en los puntos de referencia que cogieron sus creadores. En 1795, lo definieron como la diezmillonésima parte del cuarto de meridiano entre el castillo de Montjuïc (Barcelona) y Dunkerque. Hablando en otras palabras, un kilómetro es 1/40000 de la distancia de dicho meridiano.

El kilogramo

Otra más. – Un litro pesa exactamente un kilo – pensaba. Primero pensé que el litro era una unidad de masa, pero no, el litro es una unidad de volumen y equivale a un decímetro cúbico. Luego vi que esto sólo sucedía con el agua y descubrí la densidad. Esto sucede porque el kilogramo, en sus inicios, tomó como referencia el agua (otra vez). Se definió que un kilogramo equivalía a un decímetro cúbico de agua y, como en el caso del grado Celsius, a una atmósfera de presión. Imaginad que llenamos una botella de agua de dos litros (2 dm3) con hierro. Esta pasaría de pesar 2 Kg con agua a pesar casi 16 Kg. El hierro tiene una densidad de 7.87 kg/L. Si la llenamos con osmio (el elemento químico más denso, 22.6 kg/L) pasaría a pesar 45 Kg. Casi nada… ¿Conocéis alguna otra?

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dic 20 2010
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Meteorología

Condition 1

Imagináos el peor tiempo posible en España. Podemos pensar en pueblos de los valles pirenaicos, Teruel o Palencia, que en ocasiones invernales alcanzan los -20ºC. A lo sumo hablaríamos de unos 30ºC bajo cero y vientos huracanados de 150 kilómetros por hora en las cimas más altas de los pirineos. Aunque es un dato extremo, no tiene nada que ver con el peor tiempo del planeta que se produce, como no, en la Antártida. En base estadounidense McMurdo lo conocen como Condition 1 (Condición 1).

Durante la condición 1, está prohibido salir de la base y para que se declare se debe cumplir alguna de estas razones:

  • El viento supera los 100 kilómetros por hora (55 nudos).
  • La visibilidad no supera los 30 metros (100 pies).
  • La sensación térmica baja de los 60ºC bajo cero.

Todas ellas duras, aunque las dos primeras no son tan extremas si no le añadimos la tercera. Existen bastantes videos, pero sin duda este que os pongo es el más impresionante. Sólo hace falta abrir la puerta para ver que no debe apetecer demasiado salir en esas condiciones.

Teniendo en cuenta que la base McMurdo está a casi a nivel del mar, imagináos que condiciones se pueden llegar a dar en la base Vostok, sitio del cual ya os hablé hace un tiempo y que se considera el más frío del planeta. 

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