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Doblar un papel 45 veces

Kamugo — Sun, 13 May 2012 12:39:24 +0000

Domingo, comida familiar. Quiero reírme un rato, así que reto a alguien a ver si puede doblar sobre sí mismo un papel 15 veces. La mayoría acepta. Normalmente empiezan con un papel pequeño, lo doblan 7 u 8 veces y paran. Muchos en este momento decidirán ir a por un papel más grande para no perder su orgullo. Después de intentarlo, volverán a fracasar, no saben que necesitan un papel exponencialmente más grande para poder hacer más pliegues.

Cuando ya han decidido darlo por imposible les explico qué pasa, y es que la función que nos indica el grosor de la hoja después de doblarla veces es . Esto significa que por cada pliegue que hagamos, multiplicaremos el grosor por 2. El crecimiento al principio no se llega a notar, lo que hace pensar que, al hacer 4 o 5 pliegues fácilmente, el resto van a ser iguales. Pero esto es falso, ya que a cada pliegue extra multiplicará por 2 la dificultad (imaginad una montaña que empieza siendo casi plana y acaba siendo vertical).

En la vida real, por favor

Imaginad que tenemos un papel de periódico con un grosor de 0.001 centímetros (un papel MUY fino). Entonces, si es el número de pliegues, la función que define el grosor es centímetros. Hasta los 5 pliegues la dificultad es mínima, sólo tenemos que aplicar la fórmula con , lo que nos da un grosor de 0.032 centímetros. Llegar a los 10 pliegues ya es más difícil con papeles pequeños, porque habríamos alcanzado algo más de 1 centímetro. Aún así, los 10 pliegues parecen asumibles, pero 15 pliegues hacen dispararse la cifra hasta los 32 centímetros.

En las imagenes vemos bien cómo sería el grosor del papel. En la primera tenemos el grosor hasta 10 pliegues, y en la otra hasta 15 pliegues. En esta última se ve que los 10 pliegues son ridículos ahora comparado con los 15. Con 20 los 15 serán ridículos, y así hasta el infinito.

Hasta el espacio, y más allá…

Aún sabiendo esto, el cerebro no es muy bueno imaginando estas cifras y se pierde llegado a cierto punto. He probado a preguntar a la gente que retaba cuánto creían que sería el grosor haciendo 45 pliegues, la mayoría dijo cientos de metros o algún que otro kilómetro. Ninguno se llegó siquiera a acercar. Vamos a substituir la fórmula otra vez con . Para más comodidad cambiamos la fórmula a kilómetros, que quedaría como . Substituímos y, ¡TACHÁN!, aparecen unos 351 mil kilómetros. ¡Más o menos la distancia que hay hasta la Luna! Si aún no habéis entendido el crecimiento exponencial, significa que haciendo otro pliegue conseguiríamos ir a la Luna y, además, volver de nuevo.

En el siguiente vídeo se explica esto de forma más gráfica, eso sí, en inglés.

Ahora vamos un poco más lejos. Para ir hasta Urano (que está a unos 2872 millones de kilómetros) sólo tendriamos que hacer 58 pliegues. Vamos más lejos. Próxima Centauri (la estrella más próxima al Sol) está a unos 4.2 años luz (unas 14000 veces más que Urano). Ahora necesitamos unos 72 pliegues, sólo 14 más que para llegar al planeta azul. Así podemos seguir, y en no mucho tiempo llegaríamos al final de universo conocido.

Las montañas de la Luna

Kamugo — Wed, 15 Jun 2011 08:35:36 +0000

Aunque desde aquí abajo parezca que la Luna es una pelotita redonda con algún que otro cráter, su superficie es muy irregular y tiene diferencias de altura muy grandes. Como es lógico, no conocemos tan bien su superficie comparado con la Tierra, pero la sonda LRO identificó hace unos meses el punto más elevado de la Luna. Este punto está a, nada más y nada menos, 10786 metros por encima del radio medio de la Luna. Esto es, 1938 metros más alto que el Everest (8848 metros por encima del mar).

Ahí está. Visto desde arriba sigue pareciendo una gran llanura “a nivel del mar”. Los que tengáis telescopio, no os esforcéis en buscarlo, ya que se encuentrafuera del 59% de la Luna que podemos ver desde la Tierra, en la cara oculta.

De regalo: Un vídeo donde se ve la Luna desde la Tierra en un time lapse de un año entero. Podéis ver como hace algunos pequeños giros (libraciones) pero no llega a girar del todo, por eso sólo vemos ese 59%. También vemos como algunas veces aumenta de tamaño, por acercarse más a la Tierra.

Vía y más información en Eureka

Las predicciones de hace 100 años. Parte 3

Kamugo — Mon, 14 Mar 2011 16:22:32 +0000

Nueva parte del post más inacabable del Blog, no por su cantidad sino por su, digamos, poca actividad. La primera parte la publiqué a finales del año 2008, la segunda a principios del año pasado.

Para el que no se acuerde, o simplemente no las haya leído, se trata de unas cuantas predicciones que realizó John Elfreth en diciembre de 1900 para los próximos 100 años. Ya nos vamos alejando de esos años, pero sigue siendo curioso ver como se pensaba que sería el mundo hoy en día. ¿Alguien se atreve con una predicción para 2100?

Predicción 11
'Sin mosquitos ni moscas. Las mosquiteras serán innecesarias. Los mosquitos, las moscas y las cucarachas habrán sido practicamente exterminadas. Se destruirán todos sus refugios y zonas de cria, se drenarán todas las aguas estancadas y todas las corrientes de agua serán tratadas quimicamente. La exterminación del caballo (como medio de transporte) y su establo reducirán la cantidad de moscas '

Predicción 12
'Guisantes igual de largas que remolachas. Los guisantes y las habas serán igual de largas que las habas de hoy en día. Las cañas de azúcar producirán el doble, como el azucar de remolacha actual. La caña de azúcar se convertirá en nuestra fuente principal. Las plantas serán igual de resistentes a los microbios como lo es el hombre a la viruela hoy en día. El terreno será enrriquezido por las propias plantas, que recogerán los nutrientes del aire para luego fertilizar la tierra'

Predicción 13
'Nuestros tatara-tatara-nietos podrán comer fresas en las comidas de Navidad igual de grandes que las manzanas en cien años. Las frambuesas y las moras serán igual de grandes. Las fresas y los arandanos se cultivarán en arbustos altos. Arándanos y grosellas tendrán el mismo tamaño que las naranjas. Un melón satisfará a toda una familia. Melones, cerezas, uvas, … no tendrán semillas. Los higos se cultivarán en todo Estados Unidos.'

Predicción 14
'Rosas negras, azules y verdes. Las rosas serán tan grandes como coles. Las violetas crecerán hasta tener el tamaño de orquídeas. Los pensamientos (planta) tendrán el tamaño de girasoles. Será posible plantar cualquier flor de cualquier color y transferir el olor de una a otra, por ejemplo, los pensamientos podrán tener el olor de las violetas.'

Predicción 15
'No habrá alimentos expuestos. Los comerciantes que expongan sus alimentos al aire libre serán detenidos, junto a los que vendan productos adulterados o en mal estado. Refrigeradores de aire líquido conservarán frescos los alimentos durante mucho tiempo.'

Predicción 16
'No habrá C, X o Q en el alfabeto. Serán abandonadas por ser innecesarias. La ortografía se adaptará al sonido, primero en los periódicos. El inglés será un idioma con palabras densas que expresan ideas complejas, siendo el más hablado del planeta. El ruso será el segundo.'

Unidades simbólicas

Kamugo — Sat, 29 Jan 2011 17:04:52 +0000

Cuando era pequeño solía sorprenderme la cantidad de cifras redondas que podía encontrar en las medidas de muchas cosas que oía, – el agua hierve a 100 grados y se congela a 0, demasiada casualidad – pensaba. Más tarde descubrí que las unidades no eran algo natural, como yo pensaba, sino algo simbólico.

Grado Celsius

Sí, el agua hierve a 100 grados y se congela a 0, pero grados Celsius. Normalmente se acorta y todos se entienden, pero hay que tener cuidado al viajar a países como Estados Unidos, ya que utilizan los grados Fahrenheit. Imaginad la situación… Estáis con un amigo una mañana de octubre en Nueva York… -¿A cuántos grados estamos hoy? - Ahora estamos a 10 grados. - !¿Qué?! Vuestro amigo se escandaliza porque para él los 10 grados son Fahrenheit, unos -12ºC. La única diferencia entre ambos, pero, es que toman diferentes puntos de referencia. El grado Celsius toma el 0 en el punto de congelación del agua y el 100 en el punto de ebullición, ambos a una atmósfera de presión (digamos que a nivel de mar). El grado Fahrenheit, por otro lado, es algo más complicado. Os pongo la cita de Wikipedia del artículo “Grado Fahrenheit” que lo explica a la perfección.

Colocando el termómetro en una mezcla de sal de amonio o agua salada,hielo y agua, encontré un punto sobre la escala al cual llamé cero. Un segundo punto lo obtuve de la misma manera, si la mezcla se usa sin sal. Entonces denoté este punto como 30. Un tercer punto, designado como 96, fue obtenido colocando el termómetro en la boca para adquirir el calor del cuerpo humano.

El metro

Otra medida que me traía de cabeza cuando era pequeño era la frase “la Tierra tiene una circunferencia de 40000 kilómetros, exactamente”. La circunferencia que une ambos polos mide 40007 km mientras que la del ecuador 40075 km. Como veis, la medida de los 40000 km sólo se cumple, más o menos, con la circunferencia de los meridianos ya que la Tierra es una esfera achatada por los polos a causa de la rotación.

La “casualidad” de que sea un número tan redondo está, otra vez, en los puntos de referencia que cogieron sus creadores. En 1795, lo definieron como la diezmillonésima parte del cuarto de meridiano entre el castillo de Montjuïc (Barcelona) y Dunkerque. Hablando en otras palabras, un kilómetro es 1/40000 de la distancia de dicho meridiano.

El kilogramo

Otra más. – Un litro pesa exactamente un kilo – pensaba. Primero pensé que el litro era una unidad de masa, pero no, el litro es una unidad de volumen y equivale a un decímetro cúbico. Luego vi que esto sólo sucedía con el agua y descubrí la densidad. Esto sucede porque el kilogramo, en sus inicios, tomó como referencia el agua (otra vez). Se definió que un kilogramo equivalía a un decímetro cúbico de agua y, como en el caso del grado Celsius, a una atmósfera de presión. Imaginad que llenamos una botella de agua de dos litros (2 dm³) con hierro. Esta pasaría de pesar 2 Kg con agua a pesar casi 16 Kg. El hierro tiene una densidad de 7.87 kg/L. Si la llenamos con osmio (el elemento químico más denso, 22.6 kg/L) pasaría a pesar 45 Kg. Casi nada… ¿Conocéis alguna otra?

Condition 1

Kamugo — Mon, 20 Dec 2010 19:59:08 +0000

Imagináos el peor tiempo posible en España. Podemos pensar en pueblos de los valles pirenaicos, Teruel o Palencia, que en ocasiones invernales alcanzan los -20ºC. A lo sumo hablaríamos de unos 30ºC bajo cero y vientos huracanados de 150 kilómetros por hora en las cimas más altas de los pirineos. Aunque es un dato extremo, no tiene nada que ver con el peor tiempo del planeta que se produce, como no, en la Antártida. En base estadounidense McMurdo lo conocen como Condition 1 (Condición 1).

Durante la condición 1, está prohibido salir de la base y para que se declare se debe cumplir alguna de estas razones:

El viento supera los 100 kilómetros por hora (55 nudos).
La visibilidad no supera los 30 metros (100 pies).
La sensación térmica baja de los 60ºC bajo cero.

Todas ellas duras, aunque las dos primeras no son tan extremas si no le añadimos la tercera. Existen bastantes videos, pero sin duda este que os pongo es el más impresionante. Sólo hace falta abrir la puerta para ver que no debe apetecer demasiado salir en esas condiciones.

Teniendo en cuenta que la base McMurdo está a casi a nivel del mar, imagináos que condiciones se pueden llegar a dar en la base Vostok, sitio del cual ya os hablé hace un tiempo y que se considera el más frío del planeta.

Tu uso de cada letra

Kamugo — Tue, 09 Nov 2010 15:54:33 +0000

Ya os hablé una vez de cuanto se usaba cada letra de media en Español, pero eso solo eran datos. Hoy os traigo algo más entretenido para que comprobéis que porcentaje de letras utilizáis vosotros mismos. Solo tenéis que escribir lo que queráis en el cuadro de texto y podréis ver un gráfico con los porcentajes de cada letra. Si el texto es muy largo seguramente se parezca a la media que os conté la otra vez.

¿Se parece a los porcentajes del otro post? ¿Cuál es la letra que más utilizas?

El programa no cuenta caracteres extraños como á, é, ñ, ç, … ¡viva el inglés! Recordad que necesitáis estar en el navegador y no en el lector RSS para poder probarlo.

Escribe el texto que quieras

Para los que quieran saber como funciona el programa en Javascript, os lo dejo aquí el código, he utilizado jQuery y JSCharts para generar los gráficos. El script principal es el siguiente:

$(document).ready(function() {
var v = new Array(26);
var abecedario = new Array('a','b','c','d','e','f','g','h','i','j','k','l','m','n','o','p','q','r','s','t','u','v','w','x','y','z');
// Cada vez que dejemos de pulsar una tecla
$("#texto_letras_j").keyup(function() {
$("#contador_letras_j").text("");
for(i = 0; i < v.length; ++i) v[i] = 0;
var arr = $("#texto_letras_j").val();
var cont = 0;
// Recorremos todo el texto para analizar cada letra
for(i = 0; i < arr.length; ++i) {
// Comprobamos que sea una letra y la aÃ±adimos
if(/[a-z]/.test(arr.charAt(i))){
++cont;
++v[arr.charCodeAt(i)-'a'.charCodeAt(0)];
}
else if(/[A-Z]/.test(arr.charAt(i))) {
++cont;
++v[arr.charCodeAt(i)-'A'.charCodeAt(0)];
}
}
if(cont != 0) {
var myData = new Array(26);
// Escribimos los resultados
for(i = 0; i < v.length; ++i) {
var res = 100*v[i]/cont;
myData[i] = [abecedario[i], res];
$("#contador_letras_j").append("<li>"+abecedario[i]+": "+res.toFixed(3)+"%</li>");
}
// Generamos el grÃ¡fico de JSCharts
var myChart = new JSChart('grafico_letras_j', 'bar');
myChart.setTitle('Uso letras');
myChart.setAxisNameY('%');
myChart.setAxisNameX('Letras');
myChart.setDataArray(myData);
myChart.setBarColor('#42aBdB');
myChart.setBarOpacity(0.8);
myChart.setBarBorderColor('#D9EDF7');
myChart.setBarValues(false);
myChart.setTitleColor('#8C8383');
myChart.setAxisColor('#777E81');
myChart.setAxisValuesColor('#777E81');
myChart.setSize(616, 321);
myChart.draw();
}
else {
$("#grafico_letras_j").text("");
}
});
});

Además, para que funcione, debemos añadir lo siguiente al HTML

El resultado final del HTML será el siguiente:

Los scripts Javascript.
El cuadro de texto (texto_letras_j).
Un div para colocar el gráfico (grafico_letras_j).
Una lista y un párrafo (contador_letras_j) para guardar los resultados.

Las predicciones de hace 100 años. Parte 2

Kamugo — Wed, 20 Jan 2010 11:45:40 +0000

Revivo este post, del cual escribí la primera parte hace más de un año. Si no os acordáis que es, se trata de unas predicciones de John Elfredh de hace 100 años de lo que pensaba que sería el mundo en el siglo XXI. Es una traducción libre.

Las predicciones de hace 100 años. Parte 1.

Predicción 5
‘Los trenes viajarán a 2 millas por minuto (193 Km/h) y los trenes de alta velocidad a 150 millas a la hora (241 Km/h), y con ellos se podrá ir de Nueva York a San Francisco en un día y una noche. Habrá locomotoras con forma de cigarro que transportaran largas colas de vagones, y estos, al igual que las casas actuales, serán enfriados artificialmente. No habrá humo ni cenizas, ya que no se quemará carbón. No habrá paradas para agua, y los pasajeros viajarán por sitios calurosos o polvorientos con las ventanas bajadas.’

Predicción 6
‘Los automóbiles serán más baratos que los caballos en la actualidad. Los agricultores poseerán automóbiles aptos para el trabajo. Un motor de una libra de peso de estos vehículos tendrá la fuerza de un par de caballos o más. Los niños montarán en trineos motorizados durante el invierno. Los automóbiles substituirán cada carro de caballos de la actualidad. Existirán, como ya existe ahora, automóbiles fúnebres, automóbiles de policía, automóbiles ambulancia y automóbiles de limpieza.’

Predicción 7
‘Existirán aviones, pero no lograrán competir con los coches y el transporte marítimo en el transporte de pasajeros y mercancia. Se utilizarán para la guerra. Algunos transportarán hombres y mercancias. Otros, serán utilizados por los científicos para hacer observaciones y experimentos a grandes alturas por encima de la superficie terrestre.’

Predicción 8
‘Se producirán guerras con aviones y fortalezas con ruedas (tanques). Armas gigantes podrán disparar hasta 25 millas (40 Km) de distancia o más, causarán daño en un radio circundante a la explosión, pudiendo destruir grandes ciudades. Esas armas estarán construidas con brújulas cuando fueran usadas en tierra o en mar, y con telescopios cuando se dirijan desde grandes alturas.

Los rifles utilizarán silenciadores. Habrá submarinos que podrán sumergirse durante días y destruir flotas enteras. Los globos y aviones llevarán telescopios con cámara, para poder fotografiar a enemigos a una distancia de unas 100 millas, y serán enviadas a la base.’

Predicción 9
‘Las fotografías podrán se enviarán por telegrama a cualquier distancia. Si hay una batalla en China, se publicará en los periódicos una hora después. Hasta las fotografías diarias serán enviadas por telegrama de corta distancia. Las fotografías reproducirán todos los colores de la naturaleza.’

Predicción 10
‘Las personas podrán ver cualquier parte del mundo. Personas y paisajes de todo el mundo serán grabados con cámaras conectadas eléctricamente con pantallas conectadas al otro lado del circuito, a miles de millas de distancia. Los americanos podrán ver en sus teatros la coronación de reyes en Europa o el progreso de grandes batallas en Oriente. El instrumento que graba todas estas escenas estará conectado a una máquina telefónica gigante que se encargará de transmitir cada sonido del lugar, como las balas de los cañones o la voz de un cantante o actor.’

El uso de las letras

Kamugo — Sat, 28 Nov 2009 19:10:18 +0000

Después de leer un artículo de 86400.es en el que hablan sobre el porcentaje de uso de todas las letras en nuestro idioma, me entraron ganas de comprobarlo. Para ello, hice un pequeño programa en C++ que nos dice el porcentaje de uso de cada letra utilizada en un texto que pongamos (exceptuando la ñ y letras con tilde).

Los resultados que os pongo aquí, salen de un texto de unas 200 páginas y 219.731 letras. Se parecen bastante a los resultados del post, pero destaca la k con un 0,2% en este texto, seguramente por la presencia de palabras extranjeras. Si queréis analizar más textos, los podéis dejar en los comentarios, y os pongo los resultados, también os pongo el código fuente del programa.

a: 13.3031%
b: 1.8181%
c: 3.9257%
d: 4.8314%
e: 13.6308%
f: 0.5716%
g: 1.0854%
h: 1.1915%
i: 5.4417%
j: 0.5175%
k: 0.2016%
l: 5.1281%
m: 3.6608%
n: 6.7560%
o: 8.7248%
p: 2.7738%
q: 1.4668%
r: 6.8716%
s: 6.8279%
t: 4.1769%
u: 4.4336%
v: 1.1746%
w: 0.0086%
x: 0.1543%
y: 0.8624%
z: 0.4615%

El código en C++.

#include
#include
#include
using namespace std;

typedef vector<double> Abecedario;

int main() {
// 4 cifras de precisión
cout.setf(ios::fixed);
cout.precision(4);

Abecedario a(26, 0);
char c;
while(cin >> c) {
if(c >= 'a' and c <= 'z') ++a[c-'a'];
else if(c >= 'A' and c <= 'Z') ++a[c-'A'];
}

string s = "abcdefghijklmnopqrstuvwxyz";
double suma = 0;
for(int i = 0; i < 26; ++i) suma+= a[i];
cout << int(suma) << " letras" << endl;
for(int i = 0; i < 26; ++i) {
double k = a[i]/suma*100;
if(a[i] != 0) cout << s[i] << ": " << k << "%" << endl;
}
}

Gran tamaño

Kamugo — Wed, 21 Oct 2009 18:15:25 +0000

A partir de la entrada anterior, os dejo un pequeño resumen y algunas curiosidades de la estrella os enseñé, VY Canis Majoris, la estrella más grande descubierta hasta el momento.

En la imagen vemos al sol (la más pequeña) y dos tamaños para VY Canis Majoris. La que presenta más curvatura es el tamaño más pequeño que se le atribuye (600 radios solares), y el otro el más grande (2.600 radios solares). Ni me he molestado en poner la Tierra, porque ocuparía menos de 1 píxel.

Para que os hagáis una idea de lo grande que es esta estrellita, imaginaos viajando en un Jumbo a velocidad de crucero, unos 900 kilómetros por hora. Tardaríamos 330 años en dar una vuelta completa para volver a la posición de la que salimos, eso si hablamos del tamaño más pequeño porque si tuviéramos que rodear la grande, llegaríamos a nuestro destino 1.440 años después de haber salido.

Mirándolo desde otro lado, la luz tardaría más de 2 y 10 horas en hacer los dos recorridos anteriores. Tan acostumbrados que estamos a que la luz sea casi inmediata que puede costar creer que tarde tanto tiempo, imaginaos enviar un mail y que llegue a su destino unas horas más tarde. Peor sería si hablamos de juegos online o mensajería instantánea, un suplicio.

Datos técnicos

Radio solar (): 696.000 km.
Longitud circumferéncia Canis para 600 = km.
Longitud circunferencia Canis para 2600 = km.

Longitud de cirfumferencia =

Distancias

Kamugo — Fri, 16 Oct 2009 18:08:07 +0000

Año 2740, la exploración espacial ya es algo de andar por casa. Las naves espaciales personales son una realidad en la mayoría de población civil y están en alza los destinos turísticos a cometas. Todo ha cambiado, excepto los límites de velocidad que, hasta en el espacio, se siguen manteniendo en los pobres 120 kilómetros por hora.

Podríais pensar que me estoy volviendo loco, pero es sólo para que podamos imaginarnos lo que tardaríamos en llegar utilizando los coches de hoy en día. Imaginad poder ir a alguno de los planetas de nuestro sistema solar (o más lejos) a esa velocidad. ¿Aguantarías el viaje?

Luna: 133 días y medio.
Marte: 185 años
Júpiter: 647 años
Plutón: 4.579 años.

Fuera de nuestro sistema solar, las distancias, y por tanto el tiempo, se disparan.

Próxima Centauri (estrella más cercana): 37.976 milenios.
VY Canis Majoris (la estrella más grande conocida): 45 millones de milenios.

Viendo estos tiempos, no es que haga falta paciencia, sino ser inmortal, y es que si pudiéramos viajar a la velocidad de la luz, en vez de a 120 km/h, aún tardaríamos unos 5.000 años en llegar a VY Canis Majoris.

Distancia a día de hoy (16-10-09), extraída con el programa Stellarium